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思考:我的哲学与宗教观 作者:何新-第31部分
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立了图灵机的形式理论。近年来，由于电子计算机的兴起，包括算法理论、递归函数、λ…换位演算、可计算性和一般能行过程在内的逻辑学的〃算术部分〃，被看成是高于其他部分的发展中的主流。 然而近二十年来可以看到逻辑学的各种非规范的理论分支正在蓬勃地、加速地增长，预示着逻辑学和数学正在发生分化。 在亚里士多德的古典体系中，逻辑学与语法学在许多方面是混合而一的。主体（人类逻辑）与客体的逻辑，也就是康德所谓后验逻辑与先验逻辑，也是合而为一的。而关于数学思维的逻辑，即纯粹符号逻辑（无意义符号）与概念（有意义符号）思维的逻辑，也是混合为一的。 数理逻辑区分了它们之间的关系。并且建立了关于无意义句法的纯粹符号逻辑。但是在基础逻辑问题上，在认识论问题上，现代逻辑学与康德、黑格尔时代相比，非但没有取得进步，反而是大大地后退了。 后来维也纳学派的所谓分析哲学（维特根斯坦、卡尔纳普），试图以语言分析消解本体论和认识论的分析，使古典哲学的分析失去意义。但这正是现代哲学的浅薄所在。这些问题都照样存在，它们是消解不了的。 逻辑实证主义在本质上也是一种不可知论。
记者：为什么你认为逻辑实证论是一种不可知论？
何新：这种学说认为，人们只能知道可以观察到的事实，除此之外一无所知。所以对传统哲学所作的抽象讨论乃是毫无意义的。 罗素说：〃当我说看见一只猫时，很可能有一只猫。但我们在逻辑上不能超越'很可能'，因为我们知道有时说人们看见猫时，猫却不在那里，比如在梦中。〃（罗素，《对意义和真理的探索》。）罗素书中充满这种自以为聪明的废话。 由此出发，逻辑实证论彻底否定全部哲学存在的意义。罗素说： 〃我不得不痛苦地认为，被称作是哲学的那些东西，其十分之九乃是欺人之谈。唯一确实的部分就是逻辑学。但由于它是逻辑学，所以也就不是哲学。〃 实际上，罗素从来没有透彻理解一些哲学基本问题发生的根源。他是一个典型的骄矜自得而见解却十分浅薄的英国爵士。 我读过西方人写作的许多种《西方哲学史》，我认为内容最浅薄而庸俗的就是罗素写的那本。
7、现代数学哲学中的不可知论
记者：那么罗素的数理逻辑与传统逻辑是否存在某种连续性的关系？
何新：并不存在。罗素的《数学原理》是一部形式主义的数学著作，他试图以逻辑的抽象形式重新定义算术。而这一努力是失败的。他与怀特海所建立的新符号逻辑，可以说与传统逻辑，即亚里士多德逻辑基本上没有任何承继性的关系或联系。 而在认识论和本体论的意义上，罗素所谓〃反形而上学〃的不可知论，也不过是重步康德〃人类理性批判〃的后尘。只是与康德相比，罗素贫乏的哲学要浅薄得多。
记者：都是不可知论，难道也有深刻与浅薄之分吗？
何新：当然。一个傻瓜说我认为世界不可知，与康德所说的不可知，肯定涵义不同。 康德所提出和试图回答的问题是：人类对世界进行认知何以是可能的？并且在何等限度下是不可能的？康德认为，人类理性的工具和方法是逻辑。但是在先验的逻辑形式中，蕴涵着发生逻辑矛盾从而导致无意义、无结果思辩和争辩（即辩证矛盾）的必然性。 我们之所以说康德的这一结论是深刻的，是因为这一结论在20世纪，实际上以哥德尔〃不完备性定理〃的形式，在数理哲学基础中被现代数理逻辑所重新确认。
8、关于哥德尔定理
记者：什么是哥德尔〃不完备性定理〃？
何新：数学逻辑学家哥德尔（K…Gdel，1906…1976）在1931年证明： 〃包含着通常逻辑和数论的一个系统的无矛盾性是不可能确立的，如果人们只限于运用在数论系统中可以形式表出的概念和方法，实际这就是说，数论的相容性用元数学所容许的狭义逻辑是不可能确立的。〃 ［Gdel的不完备性定理（inpleteness theorem）所表述的是，如果一个足以容纳数论的形式理论T是无矛盾的，并且算术的形式系统的公理都是T的公理或定理，那末T就是不完备的。这就是说，有这样一个数论的语句S，使S和非S都不是这个理论的一个定理。因为S或非S总有一个是真的；于是就有了一个数论的语句，它是真的又是不可证明的，这个结果适用于Russell…Whitehead系统，Zermelo…Fraenkel系统，以及Hilbert的数论公理化。］（引自M·克莱因《古今数学思想》第4卷，第320页。） 哥德尔定理从根基上推翻了罗素的《数学原理》试图以逻辑斯蒂构建数学公理系统的意义。 对于哥德尔的这一定理，数学家魏尔（Weyl）曾讲过一句十分幽默的话： 〃上帝告诉我们数学是不容矛盾的。但魔鬼告诉我们这种不矛盾性是不能被证明的。〃（1944） 现代数学哲学的这种理解，与康德的哲学的不可知论，可以说是惊人相似。
9、先验的抽象时空并不存在
记者：但是康德哲学主要是一种认识论。
何新：它也是方法论。康德认为，除了依靠被直观世界（感性知觉）所决定的经验方法外，人类无法依靠理性的工具认知世界。特别是人类无法面对和洞察不可见的世界例如未来世界，三维以外的多维世界。
记者：但是，康德认为存在着先验的绝对时空形式。
何新：关于这一点，许多人误解了康德（包括罗素）。康德所谓先验时空形式，指的是一种心理的存在，主体意识的存在，而不是客观的存在。在康德看来，人类对外界的感知，是通过内在于人性的时空抽象而实现的。 康德说：我的工作是检测人类的认识工具。他认为，这种工具在结构上存在问题。就是一离开感性的手段，以纯理性作演绎推论，就会生成出自相矛盾的理论。这就是康德哲学著名的〃人类理性佯谬〃。 康德认为，对于这些相互矛盾的理论，理性既无法证明它的真，也无法证明它的伪。因此，谨慎的办法是，都不要相信它们。 所以康德说：我们应当牢牢守住感性知觉的经验范围，不要让思维和理性越出这个可以被检测的范围。否则，我们会陷入无边无际的矛盾和争论，永远找不到真理。这就是康德〃不可知论〃的真实涵义。 20世纪的数学哲学和科学哲学，以及所谓〃逻辑实证法〃，在这一点上并没有比康德知道得更多。
记者：数学一向被认为是具有精确性和必然性的科学。为什么数学哲学也会陷入不可知论？
何新：在现代数学中，牛顿的绝对时空概念已被推翻。非欧几何的建立导致对数学认识论直观反映论的冲击。数学哲学家认为： 〃那些在真实世界里没有直接对应物的数理概念被引进并逐步被接受，迫使人们承认数学是一种人为的并且多少带有任意性的创造物，而不仅仅是从自然界里引导出来的本质上是真实事物的一种抽象。〃（引自M·克莱因《古今数学思想》第4卷。） 随着这种认识的深化，带来了意义更加深远的发现数学并不是关于自然的映现式真理。特别是20世纪初集合论悖论的发现，导致了所谓〃第三次数学危机〃。
10、数学史上的三次危机
记者：什么是〃数学危机〃？
何新：数学史上发生过三次关于理论和方法的危机。都是由于在数学的基础概念中出现了矛盾。第一次是在希腊时代，毕达哥拉斯学派发现了〃无理数〃，所谓〃无理数〃，在希腊时代叫〃Alogon〃，即荒谬之数，不可理解之数。它引起了数理概念的第一次定义危机。（据说发现无理数的人由于这一发现而被丢进大海里。） 第二次是在17世纪，由于微积分的发明而发现了关于无穷小概念（动态）与其极限概念〃零〃的关系的矛盾，而发生了概念危机。 第三次是19世纪末20世纪初发生了集合论的悖论，引发了关于数学逻辑基础可靠性的问题。这种悖论最简略的表述形式之一是，在涉及无限的集合时，整体与部分一样多。例如，自然数集合（1，2，3，4，……）它包含了偶数集合（2，4，……）与奇数集合（1，3，……）。但是事实上有多少自然数就有多少偶数，同时也有多少奇数。整体与部分同样多（伽利略悖论/Burall…Forti悖论）。有一位美国数学家（TDamtzig）说： 〃一部分可能有全体之势，这句话与其说像数学，还不如说像神学。〃（《数：科学的语言》，丹齐克，第178页。） 这犹如说父亲与儿子年龄一样大。这是一个荒谬的矛盾，导致集合论的逻辑基础成为问题。 创建集合论的Cantor在1899年给Dedekind的一封信中曾指出，人们要想不陷于矛盾的话，就不能谈论由一切集合所成的集合。而这也就是后来的Russell的悖论的内容（《数学原理》（The Principles of Mathematics），1903，P。101。）。（还有诸如以下一些问题：由一切人组成的类并不是一个人。但由一切概念组成的类自身也是一个概念。由一切图书馆组成的类是一个图书馆的概念。由一切基数大于1的集合组成的类也是这样一个集合。因此，有一些类不是它们自己的元素，而有一些则是它们自己的元素。这个对于类的描述，包括了一切类，并且这两种类集是互相排斥的等等，都是悖论。） 数学史家M·克莱因描述第三次数学危机的发生过程指出： 〃二十世纪数学中最为深入的活动，是关于数学逻辑基础的探讨。在这个世纪的前期，首先是矛盾的发现，委婉地被称为悖论，在集合论中尤为突出。这些矛盾的发现显然深深地扰乱了数学家，另外一个逐渐被认识到并在本世纪初显露出来的，是数学的相容性（consistency）问题。
在十九世纪后期，有一些人已经开始重新考虑数学的基础，特别是数学对逻辑的关系。在1900年以前已经冒了烟的争论，经悖论和相容性问题加上燃料，就爆发成大火。结果，全部数学的逻辑基础，就成为极其严重和被普遍关心的问题。〃（《古今数学思想》，第4卷，第289页。） 此即第三次数学危机，也是数学史上最严重的一次危机。 这一危机不仅震撼了数学体系的真理基础，而且震撼了传统逻辑关于思维不矛盾的基本信念。这个问题至今并未解决。 11、1＋1=？
记者：您所谈到的数学危机令我震憾。在人们的心目中，数学是一切科学的基础，是逻辑严密而且具有精确性的唯一严密科学。
何新：真正的精确性也许只有在初等数学中才能得到。即1＋1=2。但实际上，就连这个等式也并非绝对无可争议。例如把两桶水注入到一个大桶中，在抽象的意义， 结果就是1＋1=1。
记者：有人会说，前面两个〃1〃与后面的〃1〃在质上不同。
何新：然而〃1〃的本质是什么呢？它不仅是数量的基本单位，有时也是一种〃质〃。我可以再举一个例子来说明。 以一个不知大小的数进行运算，可以得到确定的结果。如： X=？ X/X=1 根号2=？ 根号2/根号2=1 我们不必知道〃X〃是什么数，〃 2〃的数值是无理数，也是没有确定值的。但我们以之作相除运算的结果却可以很确定，结果就是〃1〃。为什么？ 在这里，1并不是一个〃数〃，而是指示一种关系，即某物或某量，无论其多么大或多么小，其与自身的比例总是同等大小，这是一种〃质〃的相同。这种关系就是〃1〃。这样考虑的〃1〃，实际已推翻了罗素、怀特海在《数学原理》中对于〃1〃的定义。
12、数理哲学
记者：也就是说，现代数学的一些主要分支，已经发展得高度抽象，而远离了实际的运算阶段。
何新：数学发展已经过三大阶段： （1）算术和初等几何（具体的形量关系）阶段。 （2）代数（抽象数量关系）和抽象几何的阶段。所谓计算的精密和精确性，应当被认为是初等数学阶段的事。代数学已经是与含义无关的一种逻辑抽象。因为：〃显然我们可以用我们愿意用的任何符号，并按我们选定的任何法则去处理它们〃。怀特海（Whitehead）指出，符号的这种任意处理可以是随便的，而只有那些能被赋予某种意义的或具有某种应用的解释才是重要的。 （3）在19世纪末20世纪以来的现代数学阶段，数学已经发展为数理哲学，已成为一种涉及抽象概念之间的逻辑关系的逻辑哲学，成为一种符号模型系统，远远离异于所谓计算以及精密性了。 M·克莱因指出： 〃大约到1850年以后，人们接受了这样一种观点，即数学能够引进并研究一些相当任意的概念和理论，或者像四元数那样，它们没有直接�
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